Question

若函數(shù)y=a^2x+2a^x，（a＞0且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為35，求a的值．

Answer 1

分析：將a^x看成一個整體，對解析式進平方后，化為關于a^x的二次函數(shù)，再對a分類討論，由指數(shù)函數(shù)的性質分別求出a^x的范圍，再由二次函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最大值，由條件列出方程求解．

解答：解：由題意得，y=a^2x+2a^x=（a^x+1）²-1，
①若a＞1時，由x∈[-1，1]得

1

a

＜ax＜a，則當x=1，即a^x=a時，函數(shù)取到最大值，
∴（a+1）²-1=35，解得a=5或a=-7（舍去），
②若0＜a＜1時，由x∈[-1，1]得a＜ax＜

1

a

，則當x=-1，即ax=

1

a

時，函數(shù)取到最大值，
∴(

1

a

+1)2-1=35，解得a=

1

5

或a=-

1

7

（舍去），
綜上可知，a的值為5或-

1

7

．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質的應用，關鍵是將a^x看成一個整體對解析式化簡，考查了整體思想．