Question

下面玩擲骰子放球游戲，若擲出1點(diǎn)，甲盒中放一球，若擲出2點(diǎn)或3 點(diǎn)，乙盒中放一球，若擲出4點(diǎn)、5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙盒中放一球，設(shè)擲n次后，甲、乙、丙各盒內(nèi)的球數(shù)分別為x，y，z．
（1）n=3時，求x，y，z成等差數(shù)列的概率．
（2）當(dāng)n=6時，求x，y，z成等比數(shù)列的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三種情形，然后分別求出三種情形時所對應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥
事件的概率公式解之即可．
（2）根據(jù)n=6，且x、y、z成等比數(shù)列時，則x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率
公式解之即可．

解答：解：（1）∵x+y+z=3，且2y=x+z，∴①

x=0 y=1 z=2

，或 ②

x=1 y=1 z=1

，或③

x=2 y=1 z=0

．
①表示：擲3次，1次出現(xiàn)2點(diǎn)或3點(diǎn)，2次出現(xiàn)4點(diǎn)，5點(diǎn)或6點(diǎn)，共

C

1 3

種情況．
故情況①的概率為 3•(

1

6

)0•(

2

6

)1•(

3

6

)2=

1

4

．
情況②表示：投擲3次出現(xiàn)1次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或是3點(diǎn)、1次4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，它的概率為 3•2•

1

6

•

2

6

 •

3

6

=

1

6

．
情況③表示：投擲3次出現(xiàn)2次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或3點(diǎn)，它的概率為3•(

1

6

)2•(

2

6

)1•(

3

6

)0=

1

36

．
故n=3時，x、y、z成等差數(shù)列，概率為

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

．
（2）n=6時，x、y、z成等比數(shù)列，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．
此時概率為

C

2 6

•(

1

6

)2•

C

2 4

•(

1

3

)2•

C

2 2

•(

1

2

)2=

5

72

．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及離散型隨機(jī)變量的期望和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，同時考查了
計(jì)算能力，屬于中檔題．