Question

在算式“4×□+1×△=30”的兩個(gè)□，△中，分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)（□，△）應(yīng)為（　　）

A．（4，14）

B．（5，10）

C．（6，6）

D．（3，18）

Answer 1

分析：先設(shè)出△，□，然后利用代入消元法表示出其倒數(shù)和，由于該倒數(shù)和的形式中分母次數(shù)高于分子，則求其倒數(shù)的最大值，這與原倒數(shù)和的最小值是一致的；最終把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為x+

1

x

+a（x＞0）的形式，利用基本不等式求最值，則由取最值的條件即可解決問(wèn)題．

解答：解：設(shè)1×m+4n=30，m、n∈N₊，則m=30-4n，其中1≤n≤7．
所以y=

1

m

+

1

n

=

1

30-4n

+

1

n

=

3(10-n)

n(30-4n)

，
則

1

y

=

n(30-4n)

3(10-n)

=

40n-4n2-10n

3(10-n)

=

4n(10-n)-10n

3(10-n)

=

4n

3

-

10n

3(10-n)

=

4n

3

+

10(10-n)-100

3(10-n)

=

4n

3

-

100

3(10-n)

+

10

3

=

-4(10-n)+40

3

-

100

3 (10-n)

+

10

3

=-

4

3

[（10-n）+

25

10-n

]+

50

3

≤-

4

3

×2×

25

+

50

3

=

10

3

．
當(dāng)10-n=

25

10-n

時(shí)取等號(hào)，即

1

y

取得最大值，y取得最小值．
解得n=5，則m=10．
則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(duì)（□，△）應(yīng)為（5，10）
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了代數(shù)式向形如x+

1

x

+a（x＞0，a為常數(shù)）的代數(shù)式的轉(zhuǎn)化方法，注意分子次數(shù)必須高于分母次數(shù)；同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用條件，特別是取等號(hào)時(shí)的條件．該題代數(shù)運(yùn)較為繁瑣，運(yùn)算量較大，屬于難題．