Question

設(shè)橢圓的焦點在軸上

（Ⅰ）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上第一象限內(nèi)的點，直線交軸與點，并且，證明：當(dāng)變化時，點在某定直線上.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】（1）由題意，得，

而，所以

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，

直線的直線方程為，當(dāng)時，，

故點坐標(biāo)，

由題意

得

即

解得

又點在曲線上，，解得

則點在定直線.

根據(jù)題意確定的大小，以及，可以很快求出橢圓的方程，但容易弄混長軸長（）、短軸長（）和焦距（）的概念，簡單題；第（2）屬于定直線問題，對于定直線問題，需要根據(jù)題意確定動點的坐標(biāo)，再確定動點橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，其實是變向的考查求動點的軌跡方程問題，本題可以設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系，利用向量或斜率求出的坐標(biāo)關(guān)系式，再利用在圓錐曲線上，即可求出點坐標(biāo)，繼而能夠確定點在定直線上，屬于中檔題.

【考點定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與直線，直線與橢圓的位置關(guān)系.