Question

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）設函數(shù)f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范圍；
（2）試確定函數(shù)f（x）=2^x+x²是否屬于集合M？說明理由．

Answer 1

分析：問題（1）只需通過f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）建立一個關于a的不等式即可；
問題（2）屬于函數(shù)的封閉運算，注意具體函數(shù)與抽象式子之間的聯(lián)系與運用．

解答：解：(1)f(x)=lg

a

x2+1

∈M?lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

?（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0，
當a=2時，x=-

1

2

，當a≠2時，由△≥0                   （2分）
得a2-6a+4≤0?a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
故a∈[3-

5

，3+

5

]．                            （8分）

(2)∵f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2x0+1+(x0+1)2-2x0-x02-3
=2x0+2(x0-1)=2[2x0-1+(x0-1)]，
又∵函數(shù)y=2^x+x，在x=0時，y=1；在x=-1時，y=-

1

2

．
∴函數(shù)y=2^x+x圖象與x軸有交點，不妨設交點的橫坐標為a，
則2a+a=0?2x0-1+(x0-1)=0，其中x₀=a+1，（14分）
∴f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），即f（x）=2^x+x²∈M．      （16分）
故函數(shù)f（x）=2^x+x²屬于集合M．

點評：注意利用對數(shù)的運算公式：①log_aM+log_aN=log_aMN②logaM -logaN =loga

M

N