Question

（2012•武漢模擬）已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

3

，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經過橢圓的左焦點F，斜率為k₁（k₁≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當k₁=1時，求S_△AOB的值；
（Ⅲ）設R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為k₂，求證：

k1

k2

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，得

c a = 2 3 a-c=1

，解得

a=3 c=2

，由此能求出橢圓Γ的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），故直線AB的方程為y=x+2，由

y=x+2 x2 9 + y2 5 =1

，得14x²+36x-9=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

，由此能求出S_△AOB．
（Ⅲ）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由直線AR的方程為y=

y1

x1-1

（x-1），由

x= x1-1 y1 y+1 x2 9 + y2 5 =1

，得

5-x1

y12

y²+

x1-1

y1

y-4=0．由此能

k1

k2

為定值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

c a = 2 3 a-c=1

解得

a=3 c=2

∴b²=a²-c²=5，
故橢圓Γ的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直線AB的方程為y=x+2，
由

y=x+2 x2 9 + y2 5 =1

消去y并整理，得14x²+36x-9=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

，
∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

30

7

．
設O點到直線AB的距離為d，則d=

|0-0+2|

2

=

2

．
∴S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

30

7

×

2

=

15 2

7

．…（8分）
（Ⅲ）設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直線AR的方程為y=

y1

x1-1

（x-1），即x=

x1-1

y1

y+1．
由

x= x1-1 y1 y+1 x2 9 + y2 5 =1

消去x并整理，得

5-x1

y12

y²+

x1-1

y1

y-4=0．
則y₁y₃=-

4 y12

5-x1

，∵y₁≠0，∴y₃=

4y1

x1-5

，
∴x₃=

x1-1

y1

y₃+1=

x1-1

y1

•

4y1

x1-5

+1=

5x1-9

x1-5

．
∴C（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

）．同理D（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）．
∴k₂=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

4y1(x2-5)-4y2(x1-5)

(5x1-9)(x2-5)-(5x2-9)(x1-5)

=

4y1(x2-5)-4y2 (x1-5)

16(x2-x1)

．
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂=

4k1(x1+2)(x2-5)-4k1(x2+2)(x1-5)

16(x2-x1)

=

7k1(x2-x1)

4(x2-x1)

=

7k1

4

∴

k1

k2

=

4

7

為定值．…（14分）

點評：本題考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．