Question

19．若函數(shù)f（x）=x²+（3-a）x+4在[1，4]上恒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[7，8]．

Answer 1

分析 令f（x）=0，采用分離參數(shù)法解出a=x+$\frac{4}{x}$+3，則a的范圍是右側(cè)函數(shù)在[1，4]上的值域．

解答 解：令f（x）=0得x²+（3-a）x+4=0，則a=$\frac{{x}^{2}+3x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+3，
令g（x）=x+$\frac{4}{x}$+3，則g′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x=2時(shí)，g′（x）=0，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，g′（x）＞0．
∴g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，4]上是增函數(shù)．
g（1）=8，g（2）=7，g（4）=8．∴g（x）的值域是[7，8]．
∵f（x）在[1，4]上恒有零點(diǎn)，∴a=x+$\frac{4}{x}$+3恒有解，
∴7≤a≤8．
故答案為[7，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域，使用分離參數(shù)法解出a是解題關(guān)鍵．