Question

若三個棱長均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564cm²，則這三個正方體的體積之和為（　�。�

A．764 cm³或586 cm³

B．764 cm³

C．586 cm³或564 cm³

D．586 cm³

Answer 1

分析：由題意知，若設這三個正方體的棱長分別為a，b，c，（a＜b＜c）可得a，b，c滿足關系式a²+b²+c²=94．進而可得a，b，c的范圍，又由3c²≥a²+b²+c²=94，則6≤c＜10，即c只能取9，8，7，6．逐個驗證即得a，b，c的值，進而得到這三個正方體的體積之和．

解答：解：設這三個正方體的棱長分別為a，b，c，
由題意知，6（a²+b²+c²）=564，即a²+b²+c²=94，
不妨設1≤a≤b≤c＜10，從而3c²≥a²+b²+c²=94，即c²＞31．
故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．
①若c=9，則a²+b²=94-9²=13，
易知a=2，b=3，得一組解（a，b，c）=（2，3，9）；
②若c=8，則a²+b²=94-64=30，顯然b≤5．但2b²≥30，b≥4，從而b=4或5．
若b=5，則a²=5無解，若b=4，則a²=14無解．此時無解；
③若c=7，則a²+b²=94-49=45，有唯一解a=3，b=6；
⑤若c=6，則a²+b²=94-36=58，
此時2b²≥a²+b²=58，b²≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，
此時a²=58-36=22無解．
綜上，共有兩組解

a=2 b=3 c=9

或

a=3 b=6 c=7.

體積為V1=23+33+93=764cm³或V2=33+63+73=586cm³．
故答案為：A．

點評：本小題主要考查正方體的表面積、體積，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．