Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+（1-a）x+（1-a）．a(chǎn)∈R．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，解不等式f（x）≥7；
（2）若對(duì)P任意的x∈（-1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=4時(shí)，轉(zhuǎn)化為x²-3x-10≥0解不等式；
（2）函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方轉(zhuǎn)化為f（x）≥0（x＞-1）恒成立，x^2₊x+1≥_^a（x+1）
在（-1，+∞）恒成立，再分離參數(shù)∴a≤$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$，求解．

解答 解：當(dāng)a=4是，f（x）=x²-3x-3≥7⇒x²-3x-10≥0
∴x≥5或  x≤-2．
故不等式解集為{x|x≥5或  x≤-2}．
（2）∵x∈（-1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，
∴f（x）=x^2_+（1-a）x+（1-a）≥0
⇒x^2₊x+1≥_^a（x+1）
∵x＞-1∴x+1＞0
∴a≤$\frac{{x}^{2}+x+1}{x+1}$
∵$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}=x+\frac{1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}-1$≥$2\sqrt{（x+1）\frac{1}{x+1}}=1$
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{1}{x+1}$，即x=0時(shí)取等號(hào)．
∴a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次不等式，恒成立問題的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．