Question

（2013•淄博一模）數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，已知a1=

1

5

，且對任意正整數(shù)m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立，則實數(shù)a的最小值為（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  4

  3

• D．4

Answer 1

分析：由a_m+n=a_m•a_n，分別令m和n等于1和1或2和1，由a₁求出數(shù)列的各項，發(fā)現(xiàn)此數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出S_n，而S_n＜a恒成立即n趨于正無窮時，求出S_n的極限小于等于a，求出極限列出關于a的不等式，即可得到a的最小值．

解答：解：令m=1，n=1，得到a₂=a₁²=

1

25

，同理令m=2，n=1，得到a₃=a₂•a₁=

1

53

所以此數(shù)列是首項為

1

5

公比，以

1

5

為公比的等比數(shù)列，
則S_n=

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

1- 1 5n

4

∵S_n＜a恒成立
即

lim

n→∞

Sn＜a而

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

- 1 5n +1

4

=

1

4

∴a＞

1

4

則a的最小值為

1

4

故選A

點評：此題考查了等比數(shù)列關系的確定，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，靈活運用等比數(shù)列的前n項和的公式及會進行極限的運算，是一道綜合題．