Question

已知以T=4為周期的函數f（x）在（-1，3]上的解析式為f(x)=

-m|x|x∈(-1，1) 1-(x-2)2  x∈[1，3]

，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5個實數解，則m的取值范圍為

(

5

3

，

7

3

]

．

Answer 1

分析：先根據函數解析式畫出函數f（x）在（-1，3]上的圖象，然后根據周期性畫出函數f（x）的圖象，方程3f（x）=x恰有5個實數解即y=f（x）與y=

x

3

有五個交點，結合圖形分析可求出m的范圍．

解答：解：根據函數f（x）在（-1，3]上的解析式為f(x)=

-m|x|x∈(-1，1) 1-(x-2)2  x∈[1，3]

，其中m＞0，
畫出函數圖象，再結合周期性畫出函數圖象
方程3f（x）=x恰有5個實數解即y=f（x）與y=

x

3

有五個交點
根據圖象可知在[0，+∞）有三個交點
要使-m|x+4|=

x

3

在（-5，-3]上有兩交點，-m|x+8|=

x

3

在（-9，-7]上沒有交點
∴m∈(

5

3

，

7

3

]
故答案為：(

5

3

，

7

3

]

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，及函數的周期性，數形結合是解題的關鍵，屬于中檔題．