Question

若函數(shù)y=f（x），如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱y=f（x）為“Ω函數(shù)”．
（1）判斷下列函數(shù)，是否為“Ω函數(shù)”，并說明理由；
①f（x）=x³　　　　 ②f（x）=2^x
（2）已知函數(shù)f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”，求出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）．

Answer 1

解：（1）①若f（x）=x³ 是“Ω函數(shù)”，則存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b，
即（a²-x²）³=b時(shí)，對(duì)x∈R恒成立 …（2分）
而x²=a²-最多有兩個(gè)解，矛盾，
因此f（x）=x³ 不是“Ω函數(shù)”…（3分）
②若f（x）=2^x是“Ω函數(shù)”，則存在常數(shù)a，b使得2^a+x•2^a-x=2^2a，
即存在常數(shù)對(duì)（a，2^2a）滿足，因此f（x）=2^x是“Ω函數(shù)”（6分）
（2）解：函數(shù)f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”，
設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）滿足，則tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立
當(dāng)a=kπ+，k∈Z時(shí)，tan（a-x）tan（a+x）=-cot²x，不是常數(shù)； 　…（8分）
因此a≠kπ+，k∈Z，當(dāng)x≠mπ+，m∈Z時(shí)，
則有（btan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立，
所以btan²a-1=0且tan²a-b=0
∴tan²a=1，b=1
∴a=kπ+，k∈Z，b=1 　…（13分）
∴當(dāng)x=mπ+，m∈Z，a=kπ±時(shí)，tan（a-x）tan（a+x）=cot²a=1．
因此滿足f（x）=tanx是一個(gè)“Ω函數(shù)”的實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）=（kπ±，1），k∈Z…（14分）
分析：（1）根據(jù)新定義，列出方程恒成立，通過判斷方程的解的個(gè)數(shù)判斷出f（x）=x³ 不是“Ω函數(shù)”，f（x）=2^x是“Ω函數(shù)”；
（2）據(jù)題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數(shù)的系數(shù)為0，即可求出a，b．
點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題中的新定義、判斷函數(shù)是否具有特殊函數(shù)的條件、利用新定義得到恒等式、通過仿寫的方法得到函數(shù)的遞推關(guān)系，屬于中檔題．