Question

在數(shù)列{a_n}中，，a₁=1，a₂=2，三個(gè)相鄰項(xiàng)a_n，a_n+1，a_n+2，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)成等比數(shù)列；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)成等差數(shù)列．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意可枚舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，進(jìn)而總結(jié)過規(guī)律將n為奇數(shù)（n=2k-1）的數(shù)列取出 得到 1 4 9 16 25，可作出假設(shè)a_2k-1=k²，k≥1的整數(shù)，將n為偶數(shù)（n=2k）的數(shù)列取出 得到 2 6 12 20 30，可作出假設(shè)a_2k=a_2k-2+2k，k≥2．用疊加法可以得出 a_2k，因?yàn)楫?dāng)n=2k-1為奇數(shù)時(shí)a_n+1²=a_na_n+2代入n=2k-1得到 a_2k²=a_2k-1a_2k+1，當(dāng)n=2k為偶數(shù)時(shí)，2a_n+1=a_n+a_n+2
代入n=2k 得到 2a2_k+1=a_2k+a_2k+2，然后把假設(shè)的式子代入符合，推斷假設(shè)成立，進(jìn)而分別可求得當(dāng)n為奇數(shù)和n為偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
解答：解：按照題意可得數(shù)列為
1 2 4 6 9 12 16 20 25 30
規(guī)律如下：
將n為奇數(shù)（n=2k-1）的數(shù)列取出 得到 1 4 9 16 25
可作出假設(shè)a_2k-1=k²，k≥1的整數(shù)…①
將n為偶數(shù)（n=2k）的數(shù)列取出 得到 2 6 12 20 30
可作出假設(shè)a_2k=a_2k-2+2k，k≥2，a₂=2
用疊加法可以得出 a_2k=（1+k）k k≥的整數(shù)（K=1時(shí)候a2=2符合） …②
因?yàn)楫?dāng)n=2k-1為奇數(shù)時(shí)，a_n+1²=a_na_n+2
代入n=2k-1得到 a_2k²=a_2k-1a_2k+1…③（k≥1整數(shù)）
因?yàn)楫?dāng)n=2k為偶數(shù)時(shí)，2a_n+1=a_n+a_n+2
代入n=2k 得到 2a2_k+1=a_2k+a_2k+2…④（k≥1整數(shù)）
根據(jù)假設(shè)①②兩式 得知a_2k²=（1+k）²k²
a_2k-1a_2k+1=k²（k+1）²，（k≥1整數(shù)）
將兩等式代入③成立
根據(jù)假設(shè)①②兩式 得到2a_2k+1=2（k+1）²
a_2k+a_2k+2=（1+k）k+（1+k+1）（k+1）=2（k+1）²，（k≥1整數(shù)）
將兩等式代入④成立
綜上所述，①②兩個(gè)假設(shè)都成立
即a_n的通式為
n為奇數(shù)（n=2k-1）時(shí)，a_2k-1=k²，k取≥1的整數(shù)
將n=2k-1代入即得 a_n=（n+1）²，n為奇數(shù)
n為偶數(shù)（n=2k）時(shí)，a_2k=（1+k）k，k取≥1的整數(shù)，
將n=2k代入 即得 a_n=（1+）*=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生推理能力，分析問題的能力和運(yùn)算能力．