Question

已知曲線f（x）=

1

2

e^2x-1在點(diǎn)A處的切線和曲線g（x）=

1

2

e^-2x-1在B點(diǎn)處切線互相垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OA

•

OB

=0，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)A（x_A，

1

2

e^2x_A-1），B（x_B，

1

2

e^-2x_B-1）；從而求導(dǎo)可得f′（x_A）=e^2x_A-1，g′（x_B）=-e^-2x_B-1；聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求面積．

解答： 解：設(shè)A（x_A，

1

2

e^2x_A-1），B（x_B，

1

2

e^-2x_B-1）；
f′（x_A）=e^2x_A-1，g′（x_B）=-e^-2x_B-1；
故由題意知，
e^2x_A-1•（-e^-2x_B-1）=-1；
x_Ax_B+

1

2

e^2x_A-1（

1

2

e^-2x_B-1）=0；
解得，x_B=-

1

2

，x_A=

1

2

；
故A（

1

2

，

1

2

），B（-

1

2

，

1

2

）；
故S_△AOB=

1

2

×

2

2

×

2

2

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．