解:(1)當(dāng)b=1時(shí),函數(shù)f(x)=x
2-ax+bln(x+1),
其定義域?yàn)椋?1,+∞).∴
.
∵函數(shù)f(x)是增函數(shù),∴當(dāng)x>-1時(shí),∴
恒成立.
即當(dāng)x>-1時(shí),
恒成立.
∵當(dāng)x>-1時(shí),
,
且當(dāng)
時(shí)取等號(hào).∴a的取值范圍為
.
(2)∵
,且函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,
∴f′(1)=0.∴b=2a-4.此時(shí)
.
當(dāng)
,即a=6時(shí),f'(x)≥0恒成立,
此時(shí)x=1不是極值點(diǎn).∴b=2a-4(a≠6,且a≠2)
(3)由
得
①當(dāng)a<2時(shí),
.∴當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0.∴當(dāng)a<2時(shí),
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).
②當(dāng)2<a<6時(shí),
.
∴當(dāng)-1<x<
,或x>1時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)
時(shí),f'(x)<0;
∴當(dāng)2<a<6時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
單調(diào)遞增區(qū)間為
,(1,+∞).
③當(dāng)a>6時(shí),
.∴當(dāng)-1<x<1,或x>
時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)
時(shí),f'(x)<0;
∴當(dāng)a>6時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
單調(diào)遞增區(qū)間為
.
綜上所述:∴當(dāng)a<2時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),
單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞);
當(dāng)2<a<6時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
單調(diào)遞增區(qū)間為
;
當(dāng)a>6時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
單調(diào)遞增區(qū)間為
.
分析:(1)當(dāng)b=1且函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0恒成立,x∈(-1,+∞),采取分離參數(shù)的方法求得a的取值范圍;(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,得f′(1)=0,求出a,b的方程;(3)在(2)的條件下,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,求導(dǎo),比較方程f′(x)=0兩根的大小,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
點(diǎn)評(píng):考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,在求a的取值范圍時(shí)采取的分離參數(shù)的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,討論函數(shù)單調(diào)性是,對(duì)于程f′(x)=0兩根的大小的比較,體現(xiàn)了分類討論的思想方法,屬難題.