Question

如圖，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，，點E在BD上，且BE=3ED．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

解：（I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H，
∵平面BCD中，CD⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥CD，得=
∵DC⊥面ABC，∴EH⊥面ABC
連AH，取BC中點M，
∵Rt△ABC中，AC=BC，∴cos∠ACB=，得∠ACB=60°
∵AM=CM=BC，∴△ACM是正三角形，
∵CH=BC=MC，∴H是MC中點，得AH⊥BC
∵EH⊥BC，AH∩EH=H，∴BC⊥面AHE
∵AE⊆平面AHE，∴BC⊥AE…（6分）
（II）作BO⊥AE于O，連CO
∵BC⊥AE，BO、BC是平面BOC內的相交直線，∴AE⊥平面BCO，
結合OC⊆平面BCO，得AE⊥OC，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角…（10分）
令AC=1，則BC=2，AB=，CD=
Rt△EHC中，EH=CD=，CH=BC=，
∴CE==1
∵Rt△AEH中，AH=AB=，∴AE==
在△AEC中，CE=AE=1，CO⊥AE，得CO==
在△ABO中，，BO==
∴△BOC中，cos∠BOC==
所以二面角B-AE-C的余弦值為…（14分）
分析：（I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H．平面BCD中，可得EH∥CD，結合DC⊥面ABC得EH⊥面ABC．連AH，取BC中點M，可證出△ACM是正三角形，且H是MC中點，得AH⊥BC，所以BC⊥面AHE，從而得到BC⊥AE；、
（II）作BO⊥AE于O，連CO．結合（I）的結論證出AE⊥平面BCO，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角．利用勾股定理，計算出△BOC的各邊長，最后用余弦定理，得出二面角B-AE-C的余弦值．
點評：本題在三棱錐中，證明線面垂直并求二面角的平面角余弦之值，著重考查了空間中直線與直線之間的位置關系和二面角的平面角的作法和求解等知識，屬于中檔題．