Question

已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（1）求拋物線方程及準(zhǔn)線方程；
（2）若點(diǎn)M（2，0）在AB上，求x₁x₂、y₁y₂的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px．由點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，求出p=2．由此能求出拋物線的方程和準(zhǔn)線方程．
（2）設(shè)AB的方程為y=k（x-2），由

y=k(x-2) y 2=4x

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，由此能求出x₁x₂和y₁y₂的值．

解答：解：（1）由已知條件，
可設(shè)拋物線的方程為y²=2px．
∵點(diǎn)P（1，2）在拋物線上，
∴2²=2p×1，解得p=2．
故所求拋物線的方程是y²=4x，
準(zhǔn)線方程是x=-1．
（2）∵點(diǎn)M（2，0）在AB上，
∴當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y 2=4x

，消去y，得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，
∴x1x2=

4k2

k2

=4，x1+x2=

4k2+4

k2

，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）
=k²x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²
=8k²-2k2×

4k2+4

k2

=-8．
當(dāng)直線AB的斜率k不存在時(shí)，直線AB的方程為：x=2，
它與拋物線y²=4x交于A（2，2

2

），B（2，-2

2

），
x₁x₂=2×2=4，y₁y₂=2

2

×(-2

2

)=-8．
綜上所述：x₁x₂=4，y₁y₂=-8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．