Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，已知a₃=12，且s₁₂＞0，s₁₃＜0．
（1）求公差d的范圍；
（2）問前幾項(xiàng)和最大？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）由S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡a₃得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系式，得到關(guān)于d的不等式組，求出不等式組的解集即可得到d的范圍；
（2）根據(jù)（1）中d的范圍可知d小于0，所以此數(shù)列為遞減數(shù)列，在n取1到12中的正整數(shù)中只要找到有一項(xiàng)大于0，它的后一項(xiàng)小于0，則這項(xiàng)與之前的各項(xiàng)相加就最大，根據(jù)S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的公式化簡可得S₁，S₂，…，S₁₂中最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）依題意，有S12=12a1+

12×(12-1)

2

•d＞0，
S13=13a1+

13×(13-1)

2

•d＜0
即

2a1+11d＞0① a1+6d＜0②

由a₃=12，得a₁=12-2d③，
將③式分別代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

∴-

24

7

＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
則S_n就是S₁，S₂，，S₁₂中的最大值．

S12＞0 S13＜0

⇒

a1+5d＞- d 2 ＞0 a1+6d＜0

⇒

a6＞0 a7＜0

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．

點(diǎn)評：本小題考查數(shù)列、不等式及綜合運(yùn)用有關(guān)知識解決問題的能力，是一道中檔題．