Question

已知在()ⁿ的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

(1)求n；

(2)求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).

Answer 1

解析：(1)通項(xiàng)公式為T_r+1=.

∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),

∴r=5時(shí)有=0,即n=10.

(2)令=2,得r=(n-6)=2,

∴所求的系數(shù)為 (-3)²=405.

(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得

令=k(k∈Z),

則10-2r=3k,即r=5-k.

∵r∈Z,∴k應(yīng)為偶數(shù).

∴k可取2，0，-2,即r可取2,5,8.

∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為(-3)²x²,(-3)⁵,·(-3)⁸x^-2.

小結(jié)：(1)本題是先求二項(xiàng)式的指數(shù)，再求與通項(xiàng)有關(guān)的其他問題.一般地，解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)〔求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件(n、r均為非負(fù)整數(shù)，n≥r)〕；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).此外，解本題時(shí)，為減少計(jì)算中的錯(cuò)誤，宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

(2)題設(shè)展開式中有常數(shù)項(xiàng)的條件，實(shí)際上隱含了未知數(shù)的零次項(xiàng)的存在，所以n-2r=0，因此，由有常數(shù)項(xiàng)的條件可求得n.反之，若已知n，求展開式中常數(shù)項(xiàng)時(shí)，可先假設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)得f(r),然后令f(r)=0,從中求得r的非負(fù)整數(shù)值，即得所求的項(xiàng).

(3)所謂求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)，一般是根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類型的問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解.若求二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，則其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù).求解方式與求有理項(xiàng)一致.

(4)由本題的第(2)題知，二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，本題中x²項(xiàng)的系數(shù)為405，而x²項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為=45，初學(xué)者要能區(qū)別，切不可混淆.