Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求證函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）用定義證明：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：函數(shù)的定義域是（-∞．0）∪（0，+∞）
由，
可得，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則==，
由x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，可知x₁＜x₂，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂）．
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
分析：（Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義，考查f（-x）=-f（x）在定義域內(nèi)是否恒成立，若是則為奇函數(shù)，否則不是奇函數(shù)．
（Ⅱ）利用增函數(shù)的定義，證明對(duì)于（1，+∞）內(nèi)任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、單調(diào)性的證明．嚴(yán)格按照定義解決．利用定義證明單調(diào)性是采用的步驟是：取值-作差-變形定號(hào)-下結(jié)論