分析:(Ⅰ)由
Sn=n+an,知
Sn-1=n-1+an-1,兩式相減得
an=1+an-an-1,由此能夠?qū)С鰯?shù)列{a
n-1}是公比是3,首項為-3的等比數(shù)列.從而能夠得到數(shù)列{a
n}的通項公式.
(Ⅱ)由{b
n}是等差數(shù)列,求得b
n=-4n.
Tn=++++=
4[++++],再由錯位相減法能夠得到數(shù)列
{}的前n項和T
n.
由
Tn+1-Tn=-+=>0,知{Tn}遞增,且T
n的最小值為
.由不等式T
n>log
ax(a>0且a≠1)對一切n∈N
*恒成立,知
logax<.由此能求出實數(shù)x的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由
Sn=n+an,①當(dāng)n≥2時,
Sn-1=n-1+an-1,②
兩式相減得
an=1+an-an-1,即a
n=3a
n-1-2.當(dāng)n≥2時,
==3為定值,
由
Sn=n+an,令n=1,得a
1=-2.所以數(shù)列{a
n-1}是等比數(shù)列,公比是3,首項為-3.
所以數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=1-3
n.(4分)
(Ⅱ)∴b
2=-8,b
20=-80.由{b
n}是等差數(shù)列,求得b
n=-4n.
Tn=++++=
4[++++],
而
Tn=4[++++],相減得
Tn=4(+++-),
即
Tn=2(+++)-,則
Tn=2-=3-.。8分)
∵
Tn+1-Tn=-+=>0,
故{Tn}遞增∴當(dāng)n∈N
*時,T
n的最小值為
(10分)
∵不等式T
n>log
ax(a>0且a≠1)對一切n∈N
*恒成立∴
logax<.
故當(dāng)a>1時,0<x
<a;(11分)當(dāng)0<a<1時,
x>a.(12分)
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地運用錯位相減法進行解題.