Question

定義在R上周期為2的偶函數(shù)f（x），在區(qū)間（2013，2014）上單調(diào)遞增，已知α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f（sinα）、f（cosβ）的大小關(guān)系是（　　）

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情況均有可能

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件可得f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增、在（0，1）上單調(diào)遞減，由α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角得：

π

2

-β＜α＜

π

2

，由正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式得到sinα＞cosβ，再由f（x）在（0，1）的單調(diào)性，即可判斷f（sinα）、f（cosβ）的大小關(guān)系．

解答： 解：由題意得，函數(shù)f（x）是最小正周期為2的函數(shù)，
且函數(shù)f（x）在區(qū)間（2013，2014）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上也是單調(diào)遞增，
∵定義在R上的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞減，
∵α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，
∴α+β＞

π

2

，得

π

2

-β＜α＜

π

2

，
由正弦函數(shù)的單調(diào)性得sin(

π

2

-β)＜sinα＜sin

π

2

=1，
再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得sinα＞cosβ，
∵sinα，cosβ∈（0，1），
∴由f（x）在（0，1）上遞減得f（sinα）＜f（cosβ），
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的周期性、單調(diào)性及應(yīng)用，以及三角函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，靈活運(yùn)用定義和公式，是解決問題的關(guān)鍵．