Question

數(shù)列{

n	n

}，n=1，2，…，則數(shù)列中最大項(xiàng)的值為

3	3

．

Answer 1

分析：先設(shè)y=

x	x

，（x＞0），則lny=

1

x

lnx，再設(shè)F（x）=lny=

1

x

lnx，求導(dǎo)數(shù)F′（x）=-

1

x2

lnx+

1

x2

=

1-lnx

x2

，利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，得出F（x）在區(qū)間[3，+∞）是減函數(shù)，在（0，2]是增函數(shù)，又由于

3	3

＞

2

，從而得出數(shù)列中最大項(xiàng)的值．

解答：解：設(shè)y=

x	x

，（x＞0），
則lny=

1

x

lnx，
設(shè)F（x）=lny=

1

x

lnx，
則F′（x）=-

1

x2

lnx+

1

x2

=

1-lnx

x2

，
當(dāng)x≥3時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
故F（x）在區(qū)間[3，+∞）是減函數(shù)，在（0，2]是增函數(shù)，
又由于

3	3

＞

2

，
∴當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（3），從而y=

x	x

的最大值為

3	3

．
故答案為：

3	3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列的函數(shù)特性、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．