Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-x+ce^-2x（c∈R）．
（1）若f（x）是在定義域內的增函數(shù)，求c的取值范圍；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+f'（x）-$\frac{5}{2}$（其中f'（x）為f（x）的導函數(shù)）存在三個零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域為R，導函數(shù)f'（x）=2x-1-2ce^-2x，利用f'（x）≥0得$c≤\frac{1}{2}（{2x-1}）{e^{2x}}$對于一切實數(shù)都成立，構造函數(shù)$g（x）=\frac{1}{2}（{2x-1}）{e^{2x}}$，利用導數(shù)求解函數(shù)的最小值，即可得到c的取值范圍．
（2）由（1）知f'（x）=2x-1-2c•e^-2x，通過F（x）=0得，整理得$c=（{{x^2}+x-\frac{7}{2}}）{e^{2x}}$，構造函數(shù)
$h（x）=（{{x^2}+x-\frac{7}{2}}）{e^{2x}}$，通過導數(shù)求出導數(shù)的極值點，判斷函數(shù)的單調性，求解函數(shù)的極小值即可．

解答 解：（1）因為f（x）=x²-x+ce^-2x（c∈R），
所以函數(shù)f（x）的定義域為R，且f'（x）=2x-1-2ce^-2x，
由f'（x）≥0得2x-1-2c•e^-2x≥0，即$c≤\frac{1}{2}（{2x-1}）{e^{2x}}$對于一切實數(shù)都成立…（2分）
再令$g（x）=\frac{1}{2}（{2x-1}）{e^{2x}}$，則g'（x）=2xe^2x，令g'（x）=0得x=0，
而當x＜0時，g'（x）＜0，當x＞0時，g'（x）＞0，
所以當x=0時，g（x）取得極小值也是最小值，即$g{（x）_{min}}=g（0）=-\frac{1}{2}$．
所以c的取值范圍是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]$…（5分）
（2）由（1）知f'（x）=2x-1-2c•e^-2x，所以由F（x）=0得${x^2}-x+c{e^{-2x}}+（{2x-1-2c{e^{-2x}}}）=\frac{5}{2}$，整理得$c=（{{x^2}+x-\frac{7}{2}}）{e^{2x}}$…（7分）
令$h（x）=（{{x^2}+x-\frac{7}{2}}）{e^{2x}}$，則h'（x）=2（x²+2x-3）e^2x=2（x+3）（x-1）e^2x，
令h'（x）=0，解得x=-3或x=1，
列表得：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	增	極大值	減	極小值	增

由表可知當x=-3時，h（x）取得極大值$\frac{5}{2}{e^{-6}}$；…（9分）
當x=1時，h（x）取得極小值$-\frac{3}{2}{e^2}$．
又當x＜-3時，${x^2}+x-\frac{7}{2}＞0，{e^{2x}}＞0$，所以此時h（x）＞0，
故結合圖象得c的取值范圍是$（{0，\frac{5}{2}{e^{-6}}}）$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，構造法以及轉化思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．