Question

已知A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)分別在x軸的正、負(fù)半軸上，圓M：x²+（y-2）²=4內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為T₁，T₂和原點(diǎn)O，設(shè)BC=m，AT₁=n．
（Ⅰ）證明：為定值．
（Ⅱ）已知點(diǎn)A在第一象限，且當(dāng)△ABC周長(zhǎng)最小時(shí)，試求△ABC的外接圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)A（x，y），則，所以，由此能證明為定值．
（Ⅱ）周長(zhǎng)l=2（m+n）．由，知m+n≥16，l≥32，取最小值時(shí)，m=n=8，點(diǎn)A．
設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，則直線AB的方程為l：，點(diǎn)M到l的距離，由此及彼能得到所求的方程．
解答：（本小題滿分16分）
解：（Ⅰ）設(shè)A（x，y），則，
∴，∴．
（Ⅱ）周長(zhǎng)l=2（m+n）．
∵，∴m+n≥16，∴l(xiāng)≥32，
取最小值時(shí)，m=n=8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，則直線AB的方程為l：，
即．
點(diǎn)M到l的距離，整理得．
故可設(shè)所求圓方程為：，將點(diǎn)代入得E=-15，
∴所求的方程為：．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．