Question

等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，前n項和為S_n，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，S₅=a₅²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=，求數(shù)列{b_n}的前99項的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出數(shù)列的公差，利用等比中項的性質(zhì)推斷出a₃²=a₁a₉，利用等差數(shù)列的通項公式表示出等式求得a₁=d，利用求和公式表示出
S₅，建立等式求得a₁和d另一等式，聯(lián)立求得a₁和d則數(shù)列的通項公式可得．
（2）把（1）中數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n，整理后利用裂項法求得數(shù)列的前99項的和．
解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d（d＞0），
∵a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，∴a₃²=a₁a₉．
（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），d²=a₁d．
∵d≠0，∴a₁=d．①
∵S₅=a₅²，∴5a₁+•d=（a₁+4d）²．②
由①②得a₁=，d=．
∴a_n=+（n-1）×=n．
（2）b_n=，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₉₉=
[99+（1-）+（-）+（-）]
=（100-）=．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的求法和前n項的和公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用．