Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足：a₁=1，a_n+1+2S_n•S_n+1=0，則該數(shù)列的前2017項和S₂₀₁₇=$\frac{1}{4033}$．

Answer 1

分析 將a_n+1=S_n+1-S_n代入a_n+1+2S_n•S_n+1=0化簡后，由等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，由條件求出公差和首項，由等差數(shù)列的通項公式求出$\frac{1}{{S}_{n}}$，再求出S_n和S₂₀₁₇．

解答 解：∵a_n+1+2S_n•S_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+2S_n•S_n+1=0，
兩邊同時除以S_n•S_n+1得，$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=2$，
又a₁=1，∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為公差、1為首項的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，則S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴該數(shù)列的前2017項和S₂₀₁₇=$\frac{1}{2×2017-1}$=$\frac{1}{4033}$，
故答案為：$\frac{1}{4033}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式，數(shù)列的前n項和與通項之間關(guān)系的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．