Question

如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線(xiàn)段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC外一點(diǎn)F滿(mǎn)足FC⊥平面BDE，F(xiàn)B=

5

a．
（1）證明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）要證平面BEF⊥平面BDF，只需要在平面BEF中找出平面BDF的一條垂線(xiàn)，即EB⊥平面BDF；
（2）過(guò)C作CG⊥DE，垂足為G，連接FG，根據(jù)FC⊥平面BDE，可得FG⊥DE，所以∠FGC為二面角F-DE-B的平面角，故可求二面角F-DE-B的正切值．

解答：（1）證明：∵AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)
∴EB⊥BC
∵FC⊥平面BDE，EB?平面BDE
∴FC⊥EB
∵BC∩FC=C
∴EB⊥平面BDF；
∵EB?平面BEF
∴平面BEF⊥平面BDF；
（2）解：過(guò)C作CG⊥DE，垂足為G，連接FG
∵FC⊥平面BDE，
∴FG⊥DE
∴∠FGC為二面角F-DE-B的平面角

∵FC⊥BC，BC=a，F(xiàn)B=

5

a
∴FC=2a
∵EB=a，BD=2a，CD=a，EB⊥BD，CG⊥DE
∴CG=

5

5

a
∴tan∠FGC=

FC

CG

=

2a

5 5 a

=2

5

∴二面角F-DE-B的正切值為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題以線(xiàn)面垂直為載體，考查面面垂直，考查面面角，解題時(shí)，正確運(yùn)用面面垂足的判定定理，作出面面角是關(guān)鍵