Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx（x∈R）的最大值為M，
（1）若有10個(gè)互不相等的正數(shù)x_i滿足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x+θ），如果g′(

π

6

)=2

3

，求正實(shí)數(shù)θ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：f(x)=2sin(2x+

π

6

)，進(jìn)一步利用最值求出結(jié)果．
（2）由（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出θ的最小值．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
由于函數(shù)f（x）的最大值為M．
則：M=2
∵f（x_i）=2，
∴2xi+

π

6

=2kπ+

π

2

，
即xi=kπ+

π

6

(k∈Z)
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，…，9，
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×

π

6

=

140

3

π
（2）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
所以g（x）=f(x+θ)=2sin(2x+2θ+

π

6

)
g′(x)=4cos(2x+2θ+

π

6

)
g′(

π

6

)=4cos(

π

3

+2θ+

π

6

)=-4sin2θ=2

3

即：sin2θ=-

3

2

∴θ=

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最值，及等差數(shù)列的求和，函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題及相關(guān)的運(yùn)算．