已知A，B，C是函數(shù)y=ex圖象上的三點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為t-1，t，t+1．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求實(shí)數(shù)x，y的值，使得
.
OB
=x
.
OA
+y
.
OC
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)；
（2）①證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)t，A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上；②問(wèn)△ABC是銳角三角形、直角三角形、還是鈍角三角形？說(shuō)明理由．
分析：（1）t=1時(shí)，由
.
OB
=x
.
OA
+y
.
OC
，得關(guān)于x，y的方程組，解出即可；
（2）①寫(xiě)出向量
AB
、
BC
，根據(jù)向量共線的充要條件可證明；②根據(jù)
BA
•
BC
的符號(hào)及△ABC可作出判斷；
解答：（1）解：當(dāng)t=1時(shí)，
.
OA
=(0，1)，
.
OB
=(1，e)，
.
OC
=(2，e2)，
代入
.
OB
=x
.
OA
+y
.
OC
得：
2y=1
x+ye2=e
，
解得x=e-
e2
2
，y=
1
2
．
（2）①證明：
.
AB
=(1，et-et-1)=(1，et(1-e-1))，
.
BC
=(1，et+1-et)=(1，et(e-1))，
因?yàn)?×et（e-1）-1×et（1-e-1）=et（e+e-1-2）=et-1（e-1）2＞0，
所以
.
AB
與
.
BC
不共線，從而A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上； 
②解：△ABC是鈍角三角形．
因?yàn)?span id="ma2kyea" class="MathJye">
.
BA
•
.
BC
=(-1，-et(1-e-1))•(1，et(e-1))=-1-e2t-1（e-1）2＜0，
所以
.
BA
•
.
BC
=|
.
BA
|•|
.
BC
|cosB＜0，cosB＜0，
由0≤B≤π及①知
π
2
＜B＜π．
所以△ABC是鈍角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量共線、三點(diǎn)共線問(wèn)題，熟記向量共線的充要條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，O是直線l外一點(diǎn)，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足
OA
=[f（x）+2f′（1）]
OB
-ln（x+1）
OC
．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若x＞0，證明：f（x）＞
2x
x+2
；
（Ⅲ）若不等式
1
2
x2≤f（x2）+m2-2m-3對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是直線l上不同的三點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-(
3
2
x2+1)•
OB
-[ln(2+3x)-y]•
OC
=
0
．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足
OA
-（y+1-lnx）
OB
+
1-x
ax
OC
=
o
，（O不在直線l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，∞]上為增函數(shù)，求a的范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
，對(duì)n≥2的正整數(shù)n成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量
OA
、
OB
、
OC
滿足：
OA
=[y+3xf′（1）]
OB
-2lnx•
OC
 則函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式為
2lnx-
3
2
x+1
2lnx-
3
2
x+1
．

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