Question

（本小題滿分12分）已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形．

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T。若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，，，橢圓經(jīng)過點，代入得，得，

                          ………………………4分

（2）i）若n=0，

ii）若m=0,且過定點（0,1）………………………6分

iii）

設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂），則以AB為直徑的圓的方程為

（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0                        …………………8分

∵

∴圓方程為：

將（0,1）代入顯然成立，故存在T（0,1）符合題意。         …………………12分

【解析】（1）根據(jù)條件求得a、b的值；（2）先設(shè)m，n取兩個值，求出兩個圓的交點，就是定點，然后設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂），則以AB為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0  ，直線方程與橢圓方程聯(lián)立代入得到含m，n的方程，將定點坐標(biāo)代入恒成立。