Question

在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試中只有三道題，已知(1)某校25個學(xué)生參加競賽，每個學(xué)生至少解出一道題；(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中，解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍；(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1；(4)只解出一道題的學(xué)生中，有一半沒有解出第一題，問共有多少學(xué)生只解出第二題?

Answer 1

思路分析：本題的條件較多，利用Venn圖，設(shè)解出第一、二、三道題的學(xué)生的集合為A、B、C，并用三個圓分別表示，如圖所示，則重疊部分表示同時解出兩道題或三道題的集合，這樣得到七個部分，其人數(shù)分別用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根據(jù)已知條件列出方程組求出b.

解：根據(jù)已知條件(1)(2)(3)(4),可得

    a+b+c+d+e+f+g=25,                                                    ①

    b+f=2(c+f),                                                           ②

    a=d+e+g+1,                                                           ③

    a=b+c.                                                                ④

    ②代入①,得a+2b-c+d+e+g=25.                                           ⑤

    ③代入⑤,得2b-c+2d+2e+2g=24.                                          ⑥

    ④代入⑤,得3b+d+e+g=25.                                               ⑦

    ⑦×2-⑥,得4b+c=26.                                                    ⑧

    由于c≥0，所以b≤.

    利用②⑧消去c，得f=b-2(26-4b)=9b-52.

    因為f≥0，所以b≥.

    則有b=6，即只解出第二題的學(xué)生有6人.