Question

已知數(shù)列{a_n}，滿足a1=1，

1

an+1

=

1

an

+1，S_n是數(shù)列{a_na_n+1}的前n項和，則S₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：由a1=1，

1

an+1

=

1

an

+1結合等差數(shù)列的通項公式可求an=

1

n

，從而有anan+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和即可

解答：解：∵a1=1，

1

an+1

=

1

an

+1，
∴{

1

an

}是以1為首項以1為公差的等差數(shù)列
根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，

1

an

=n即an=

1

n

∴anan+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S2011=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

故答案為：

2011

2012

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，及數(shù)列求和的裂項求和，屬于公式的簡單綜合運用．