Question

已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

(1)求當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式；

(2)試討論：當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①時(shí)，；②時(shí)，；③時(shí)，.

【解析】

試題分析：本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式、函數(shù)零點(diǎn)問題以及等差數(shù)列的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力.第一問，先把轉(zhuǎn)化成，利用已知時(shí)的解析式，利用偶函數(shù)轉(zhuǎn)化解析式；第二問，把有4個(gè)零點(diǎn)，先轉(zhuǎn)化為與有4個(gè)交點(diǎn)且均勻分布，所以利用等差中項(xiàng)，偶函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)列出表達(dá)式，分情況進(jìn)行討論分析.

試題解析：（1）設(shè)則，，

又偶函數(shù)，

所以，.

（2）零點(diǎn)，與交點(diǎn)有4個(gè)且均勻分布，

（Ⅰ）時(shí)，    得，

所以時(shí)， ， 

（Ⅱ）且時(shí) ，， ，

所以 時(shí)，，

（Ⅲ）時(shí)時(shí)，符合題意，

（Ⅳ）時(shí)，，，，，

此時(shí)，，所以或（舍）

且時(shí)，時(shí)存在.

綜上，①時(shí)，；

②時(shí)，；

③時(shí)，符合題意.

考點(diǎn)：1.求函數(shù)解析式；2.函數(shù)零點(diǎn)問題；3.圖像交點(diǎn)問題.