Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，π]上最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先通過(guò)倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理得f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)，再根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)可知其最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sinx+

1+cosx

2

-

1

2

=

1

2

(sinx+cosx)
=

2

2

sin(x+

π

4

)；
∴函數(shù)最小正周期為2π
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)單調(diào)減
∴2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）∵-

π

4

≤α≤π
即0≤α+

π

4

≤

5π

4

，
∴f(x)max=f(

π

4

)=

2

2

，
f(x)min=f(π)=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的性質(zhì)和正弦函數(shù)的單調(diào)性．屬基礎(chǔ)題．