Question

已知兩個(gè)二次函數(shù)：f（x）=ax²+bx+1與g（x）=a²x²+bx+1（a＞1）．若x₁，x₂（其中x₁＜x₂）是方程f（x）=0的二根；若x₃，x₄（若是x₃＜x₄）是方程g（x）=0的二根．則 x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系是（　　）

A．x₁＜x₃＜x₄＜x₂

B．x₃＜x₁＜x₂＜x₄

C．x₁＜x₃＜x₂＜x₄

D．x₃＜x₁＜x₄＜x₂

Answer 1

分析：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通過討論它們的零點(diǎn)，得出它們的根之間的大小關(guān)系．然后通過分類討論和在同一坐標(biāo)系里作出F（x）和G（x）的圖象，然后將兩個(gè)圖象向上平移一個(gè)單位，可得x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系，最后綜合可得出正確的大小關(guān)系．

解答：解：記函數(shù)F（x）=f（x）-1=ax²+bx，G（x）=g（x）-1=a²x²+bx
兩個(gè)函數(shù)有公共的零點(diǎn)x=0，此外F（x）還有一個(gè)零點(diǎn)x=-

b

a

，G（x）還有一個(gè)零點(diǎn)x=-

b

a2

，
①因?yàn)閍＞1，當(dāng)b＜0時(shí)，
得必定有0＜-

b

a2

＜ -

b

a

，
在同一坐標(biāo)系里作出F（x）和G（x）的圖象：

將此兩個(gè)圖象都上移一個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）和g（x）的圖象
所以由圖象可得x₁＜x₃＜x₄＜x₂
②當(dāng)b＞0時(shí)，同理可得四個(gè)根的大小關(guān)系：x₁＜x₃＜x₄＜x₂
綜上所述，可判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系為：x₁＜x₃＜x₄＜x₂
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以一元二次方程的根的分布考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，所含字母參數(shù)較多，屬于難題．采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是本題解決的關(guān)鍵所在．