Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的離心率 ，且點(diǎn) 在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)l與橢圓E交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) ．求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，e= = ，a2﹣b2=c2 ， ∵點(diǎn) 在橢圓上，
∴ ，解得a=2，b=1．
∴橢圓方程為 ；
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
∵AB的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn) ，∴AB的斜率k存在．
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率k=0時(shí)，x1=﹣x2 ， y1=y2 ，
∴S△AOB= 2|x||y|=|x|
= ≤ =1，
當(dāng)且僅當(dāng)x12=4﹣x12 ， 取得等號(hào)，
∴ 時(shí)，（S△AOB）max=1；
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率k≠0時(shí)，設(shè)l：y=kx+m（m≠0）．
消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0可得4k2+1＞m2①，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，可得 ，
，
∴AB的中點(diǎn)為 ，
由直線(xiàn)的垂直關(guān)系有 ，化簡(jiǎn)得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m＞m2 ， 解得﹣6＜m＜0，
又O（0，0）到直線(xiàn)y=kx+m的距離為 ，
，

= ，
∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3時(shí)， ．
由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得 ；
即 時(shí)，（S△AOB）max=1；
綜上：（S△AOB）max=1．
【解析】（Ⅰ）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），討論直線(xiàn)AB的斜率為0和不為0，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法，可得面積的最大值．