Question

【題目】已知函數(shù)，；

(Ⅰ)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)令，是否存在實數(shù)，當(是自然對數(shù)的底數(shù))時，函數(shù)的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題(1)在[1,2]上恒成立

令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立

得，.

(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3

g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝

①當a≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)

②當0<<e即a>時，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0

∴g(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增

∴g(x)min＝＝1＋lna＝3，∴a＝e2滿足條件

③當≥e即0<a≤時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減

g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3

∴a＝>(舍去)

綜上所述，存在a＝e2使得當x∈(0，e]時，g(x)有最小值3.