Question

10．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面ABB₁A₁，且AA₁=AB=2．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若直線AC與平面A₁BC所成的角為$\frac{π}{6}$，請(qǐng)問在線段A₁C上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A-BE-C的大小為$\frac{2π}{3}$，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁交AB₁于點(diǎn)D，則可通過證明BC⊥平面ABB₁A₁得出得出BC⊥AB；
（2）以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，求出平面ABE的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，令|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}$＞|=$\frac{1}{2}$，根據(jù)解的情況判斷E點(diǎn)是否存在．

解答 （1）證明：連接AB₁交AB₁于點(diǎn)D，
∵AA₁=AB，∴AD⊥A₁B
又平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，AA₁?平面A₁ABB₁，AD?平面A₁ABB₁，
∴BC⊥平面A₁ABB₁，又AB?側(cè)面A₁ABB₁，
∴AB⊥BC．
（2）由（1）得AD⊥平面A₁BC，
∴∠ACD直線AD與平面AA₁=AB所成的角，
即$∠ACD=\frac{π}{6}$，又AD=$\frac{1}{2}A{B}_{1}$=$\sqrt{2}$，∴$AC=2\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2．
假設(shè)在線段A₁C上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角A-BE-C的大小為$\frac{2π}{3}$
以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以BC、BA，AA₁所在直線為坐標(biāo)軸軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，如圖所示，
則A（0，2，0），B（0，0，0），A₁（0，2，2），C（2，0，0），B₁（0，0，2）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，-2，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2）．
假設(shè)A₁C上存在點(diǎn)E使得二面角A-BE-C的大小為$\frac{2π}{3}$，且$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2λ，-2λ，-2λ），
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2λ，-2λ，2-2λ），
設(shè)平面EAB的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，則$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{n_1}$，$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{n_1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2λx-2λy+（2-2λ）z=0}\\{-2y=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，$\frac{λ}{λ-1}$），
由（1）知AB₁⊥平面A₁BC，∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-2，2）為平面CEB的一個(gè)法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{1}}|}$=$\frac{\frac{2λ}{λ-1}}{2\sqrt{2}×\sqrt{1+\frac{{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}}}$，
∴|$\frac{\frac{2λ}{λ-1}}{2\sqrt{2}×\sqrt{1+\frac{{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}}}$|=|cos$\frac{2π}{3}$|=$\frac{1}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$
∴點(diǎn)E為線段A₁C中點(diǎn)時(shí)，二面角A-BE-C的大小為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用與二面角的計(jì)算，屬于中檔題．