Question

已知實(shí)數(shù)x滿足|x|≥2且x²+ax+b-2=0，則a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題

分析：將x²+ax+b-2=0變形為xa+b+x²-2=0，即點(diǎn)（a，b）在直線xa+b+x²-2=0上，則a²+b²的表示點(diǎn)（a，b）與（0，0）的距離的平方；（0，0）到直線xa+b+x²-2=0距離的平方為為

(x2-2)2

1+x2

，a2+b2≥

(x2-2)2

1+x2

，|x|≥2，通過(guò)換元，利用基本不等式求出最小值．

解答： 解：由于x²+ax+b-2=0，
則xa+b+x²-2=0，
∴點(diǎn)（a，b）在直線xa+b+x²-2=0上，
則a²+b²的表示點(diǎn)（a，b）與（0，0）的距離的平方；
∴（0，0）到直線xa+b+x²-2=0距離的平方為為

(x2-2)2

1+x2

，
∴a2+b2≥

(x2-2)2

1+x2

，|x|≥2，
令t=1+x²≥5，
∴a2+b2≥

(t-3)2

t

=t+

9

t

-6，t≥5，
令y=t+

9

t

-6，t≥5，則y=t+

9

t

-6（t≥5）為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=5時(shí)有最小值5+

9

5

-6=

4

5

；
當(dāng)且僅當(dāng)x=±2取等號(hào)．
故a²+b²的最小值為

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用幾何解決代數(shù)中最值問(wèn)題；考查換元的數(shù)學(xué)方法及基本不等式求最值，是一道難題．