Question

已知焦點(diǎn)在x軸上橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)分別為A，B，O為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l，使點(diǎn)F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用，離心率e=，可求幾何量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)l交橢圓與點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且F恰好為△PQM的垂心，設(shè)直線(xiàn)l為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及，即可求得直線(xiàn)l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）
∵
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵離心率e=，∴
∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)l交橢圓與點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，且F恰好為△PQM的垂，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因?yàn)镸（0，1），F(xiàn)（1.0），所以k_PQ=1．
于是設(shè)直線(xiàn)l為y=x+m，由得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2×-（m-1）+m²-m=0=0
∴m=-或m=1（舍去）
故直線(xiàn)l的方程為y=x-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．