Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-6x+5（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知當x∈[2，+∞）時，不等式f（x）≥k（x-1）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，令其大于0（小于0），結(jié)合函數(shù)的定義域，可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與直線y=a交點個數(shù)問題．
（3）f（x）≥k（x-1），即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．因為x≥2轉(zhuǎn)化為k≤x²+x-5在x∈[2，+∞）上恒成立．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6，令f′（x）=0，解得x₁=-

2

，x₂=

2

．
因為當x＞

2

或x＜-

2

時，f′（x）＞0；
當-

2

＜x＜

2

時，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-

2

，

2

）．
當x=-

2

時，f（x）有極大值5+4

2

；  當x=

2

時，f（x）有極小值5-4

2

．
（2）由（1）的分析知y=f（x）的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當5-4

2

＜a＜5+4

2

時，
直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同交點，即方程f（x）=a有三個不同的解．

（3）f（x）≥k（x-1），即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．
因為x≥2，所以k≤x²+x-5在x∈[2，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²+x-5，此函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)．所以g（x）≥g（2）=1．
所以k的取值范圍是k≤1．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化計算，數(shù)形結(jié)合，分離參數(shù)等的思想方法．