已知數(shù)學(xué)公式（a∈R）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+2x-數(shù)學(xué)公式-1的零點(diǎn)；
（3）設(shè)g（x）=log4數(shù)學(xué)公式，若方程f-1（x）=g（x）在x∈[數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解：（1）由奇函數(shù)的定義可得：f（-x）=-f（x），
取x=0即得f（0）=0，解得a=1，2分
經(jīng)驗(yàn)證知當(dāng)a=1時，，此時滿足f（x）=-f（-x），
故當(dāng)a=1時，f（x）在R上的奇函數(shù)，4分
（2）由（1）知：，故F（x）=+= 6分
由（2x）2+2x-6=0，可得2x=2，8分
所以x=1，即F（x）的零點(diǎn)為x=1． 10分
（3）由f-1（x）=g（x）得，11分
由對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得： 12分
顯然當(dāng)時k+x＞0，即 13分
設(shè) 14分
于是 15分
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍 16分．
分析：（1）由題意可得：f（0）=0，解得a=1，注意驗(yàn)證；
（2）把（1）的結(jié)論代入可得函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程的根可得答案；
（3）求函數(shù)的反函數(shù)可得，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，用換元法令m=1-x，由關(guān)于m的函數(shù)的范圍可得答案．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn)，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函f（x）（數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且y=f（x+1）是奇函數(shù)，給出以下結(jié)論：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：大連二十三中學(xué)2011學(xué)年度高二年級期末測試試卷數(shù)學(xué)（理） 題型：選擇題

已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函

數(shù),則(     ).     

A.            B.

C.            D.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆浙江省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,1]上是增函

數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根,則

（     ）

（A）     （B）      （C）      （D）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則


  1. A.
    f（x）是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)
  2. B.
    f（x）是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
  3. C.
    f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)
  4. D.
    f（x）既非奇函數(shù)，又非偶函

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