已知半球O的半徑為1,它的內(nèi)接長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一個(gè)面ABCD在半球O的底面上,則該長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積最大值為   
【答案】分析:連接OA1,OA,令OA1與底面的夾角為α,則可用球的半徑與α的三角函數(shù)值將棱柱的高與底面邊長(zhǎng)表示出來(lái),由此可以將棱柱的體積表示成解α的函數(shù),求這個(gè)三角函數(shù)的最大值即可得到該正四棱柱體積的最大值
解答:解:令球心為O,底面邊長(zhǎng)為a,連接OA1,OA,令OA1與底面的夾角為α,則OA1=1,則棱柱的高是sinα,底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)的一半是cosα,即 2a=2cosα,由此得底面邊長(zhǎng)是 2cosα
故正四棱柱的體積是V=2cos2α×sinα=2cos2αsinα
V'=2(-2cosαsin2α+cos3α)=2osα(-2+3cos2α)
令V'=0,可以解得cosα=0,舍,或cos2α=23,即sin2α=13,sinα=33
由此知正四棱柱體積的最大值為V=,
故答案為:
點(diǎn)評(píng):本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,求解本題關(guān)鍵是建立三角函數(shù)模型將正四棱柱體積用三角函數(shù)模型表示出來(lái),然后借助導(dǎo)數(shù)研究出三角函數(shù)的最大值得出體積的最大值來(lái),本題屬于三角函數(shù)模型在求面積中的應(yīng)用,根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)哪P褪墙鉀Q一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵,學(xué)習(xí)時(shí)要注意積累此類題中模型的建立方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知半球O的半徑為1,它的內(nèi)接長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一個(gè)面ABCD在半球O的底面上,則該長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知半球O的半徑為1,它的內(nèi)接長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的一個(gè)面ABCD在半球O的底面上,則該長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的體積最大值為_(kāi)____________.

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