Question

已知函數f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若α為三角形的內角且f（

α

2

-

π

8

）=

2

2

，求f（α）的值．

Answer 1

考點：三角函數的最值,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角恒等變換把函數f（x）化為一個角的三角函數，求出最小正周期與最大值；
（2）由f（

α

2

-

π

8

）=

2

2

，且α為三角形的內角，求出α的值，計算f（α）即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1
=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∴f（x）的最小正周期是π，最大值是

2

；
（2）∵f（

α

2

-

π

8

）=

2

2

，
∴

2

sin[2（

α

2

-

π

8

）-

π

4

]=

2

sin[α-

π

2

]=

2

（-cosα）
=-

2

cosα=

2

2

，
∴cosα=-

1

2

；
又∵α為三角形的內角，
∴α=

2π

3

；
∴f（α）=f（

2π

3

）=sin（2×

2π

3

）-cos（2×

2π

3

）
=sin

4π

3

-cos

4π

3

=-

3

2

-（-

1

2

）=

1- 3

2

．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，考查了三角函數的求值問題，是綜合題目．