如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù),且從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差.
(1)設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的關(guān)系式;
(2)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,若將a1,a2,a3,…,a10這種順序的排列作為某種密碼,求這種密碼的個(gè)數(shù).
【答案】分析:(1)由等方差數(shù)列的定義可知:an2-an-12=p,n≥2,n∈N.
(2)證明:由題意可知an2-an-12=an+12-an2,所以(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,所以d=0,即an是常數(shù)列.
(3)依題意,an2-an-12=2,n≥2,n∈N,由此能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213146937213363/SYS201310232131469372133004_DA/0.png">,或,由此入手能夠?qū)С鲞@種密碼的個(gè)數(shù).
解答:解:(1)解:由等方差數(shù)列的定義可知:an2-an-12=p,n≥2,n∈N.
(2)證明:∵an是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則an-an-1=an+1-an=d
又an是等方差數(shù)列,∴an2-an-12=an+12-an2
∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0,
∴d=0,即an是常數(shù)列.
(3)依題意,an2-an-12=2,n≥2,n∈N,
a12=4,an2=4+2(n-1)=2n+2,
,或,
即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是l,其余每個(gè)數(shù)都有“正”或“負(fù)”兩種
確定方法,當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來時(shí),密碼就確定了,即確定密碼的方法數(shù)是29=512種,
故,這種密碼共512種.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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(1)設(shè)數(shù)列{an}是公方差為p的等方差數(shù)列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的關(guān)系式;
(2)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明該數(shù)列為常數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,若將a1,a2,a3,…,a10這種順序的排列作為某種密碼,求這種密碼的個(gè)數(shù).

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(Ⅰ)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,求證:該數(shù)列是常數(shù)列;
(Ⅱ)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an2=2n+1bn.若不等式2nSn>m•2n-2an2對?n∈N*恒成立,求m的取值范圍.

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A.  18個(gè)                B.  256個(gè)           C.  512個(gè)           D.  1024個(gè)

 

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