Question

若函數(shù)f（x）=x³+a|x²-1|，a∈R，則對于不同的實數(shù)a，則函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間個數(shù)不可能是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．5個

Answer 1

分析：先令a=0，即可排除A，再將函數(shù)化為分段函數(shù)，并分段求其導函數(shù)，得f′（x），最后利用分類討論，通過畫導函數(shù)f′（x）的圖象判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間的個數(shù)，排除法得正確判斷

解答：解：依題意：（1）當a=0時，f（x）=x³，在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，有一個單調(diào)區(qū)間     ①
當a≠0時，∵f（x）=x³+a|x²-1|a∈R
∴f（x）=

x3+ax2-a   x∈(-∞，-1]∪[1，+∞) x3-ax2+a   x∈(-1，1)

∴f′（x）=

3x2+2ax   x∈(-∞，-1]∪[1，+∞) 3x2-2ax    x∈(-1，1)

（2）當0＜a＜

3

2

時，∵-

1

2

＜-

a

3

＜0，0＜

a

3

＜

1

2

，∴導函數(shù)的圖象如圖1：（其中m為圖象與x軸交點的橫坐標）
∴x∈（-∞，0]時，f′（x）＞0，x∈（0，m）時，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-∞，0]時，單調(diào)遞增，x∈（0，m）時，單調(diào)遞減，x∈[m，+∞）時，單調(diào)遞增，有3個單調(diào)區(qū)間    ②
（3）當a≥3時，∵-

a

3

＜-1，

a

3

＞1，∴導函數(shù)的圖象如圖2：（其中n為x≤-1時圖象與x軸交點的橫坐標）
∴x∈（-∞，n]時，f′（x）＞0，x∈（n，-1]時，f′（x）＜0，x∈（-1，0）時，f′（x）＞0，x∈[0，1）時，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在x∈（-∞，n]時，單調(diào)遞增，x∈（n，-1]時，單調(diào)遞減，x∈（-1，0）時，單調(diào)遞增，x∈[0，1）時，單調(diào)遞減，x∈[1，+∞）時，單調(diào)遞增，
有5個單調(diào)區(qū)間       ③
由①②③排除A、C、D，
故選B

點評：本題考查了含絕對值函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷方法，利用導數(shù)研究三次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)與其導函數(shù)圖象間的關系，排除法解選擇題