Question

已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列 的前項(xiàng)和．

（1）若數(shù)列為等差數(shù)列．

①求數(shù)列的通項(xiàng)；

②若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，試比較數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的大��；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）①

②當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

（2）

【解析】

試題分析：（1） 解等差數(shù)列問(wèn)題，主要從待定系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā).①?gòu)?/span>與關(guān)系出發(fā)，得出，利用解出，從而解出首項(xiàng)與公差，② 實(shí)際是一個(gè)等比數(shù)列，分別求出數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和 ，要使計(jì)算簡(jiǎn)便，需用 表示 ，比較兩者大小通常用作差法. 作差法的關(guān)鍵是因式分解，將差分解為因子，根據(jù)因子的符號(hào)討論差的正負(fù)，從而確定大小，（2） 不等式恒成立問(wèn)題，首先化簡(jiǎn)不等式. 需從與關(guān)系出發(fā)，得出項(xiàng)的關(guān)系：，這是三項(xiàng)之間的關(guān)系，需繼續(xù)化簡(jiǎn)成兩項(xiàng)之間關(guān)系：，這樣原數(shù)列分解為三個(gè)等差數(shù)列，則恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為且，代入可解得

試題解析：解：（1）因?yàn)?/span>，所以，

即，又，所以， 2分

①又因?yàn)閿?shù)列成等差數(shù)列，所以，即，解得，

所以； 4分

②因?yàn)?/span>，所以，其前項(xiàng)和，

又因?yàn)?/span>， 5分

所以其前項(xiàng)和，所以， 7分

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)， 9分

（2）由知，

兩式作差，得， 10分

所以,作差得， 11分

所以，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，； 14分

因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以且，

所以，解得，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)，等比數(shù)列求和，不等式恒成立