Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓.

(1)過橢圓的左焦點，作垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，若，求實數(shù)的值；

(2)已知點，、是橢圓上的動點，，求的取值范圍；

(3)若直線與橢圓交于、兩點，求證：對任意大于3的實數(shù)，以線段為直徑的圓恒過定點，并求該定點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，.

【解析】

（1）由橢圓的方程可得左焦點坐標(biāo)，再由的長可得縱坐標(biāo)，即橢圓過，代入橢圓的方程求出的值；

（2）代入橢圓可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)的坐標(biāo)，中的用向量表示，再由題意可得關(guān)于的坐標(biāo)的關(guān)系，由的坐標(biāo)的范圍求出數(shù)量積的取值范圍；

（3）將直線與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出的中點的坐標(biāo)，及弦長，求出以線段為直徑的圓的方程，整理出關(guān)于的二次三項式恒為0，可得的所有系數(shù)都為0，可得，的值，即圓恒過的定點坐標(biāo)．

（1）由題意可得：，即左焦點為：，若，所以，將，代入橢圓可得：，又解得：；

（2）時，橢圓的方程為：，設(shè)，，

，由題意可得：

，由，

所以，．

（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，解得，，設(shè)，，所以的中點為：，，

，

所以以線段為直徑的圓的方程為：

，

整理可得：，

即，

整理可得：，

對于任意的，關(guān)于的二次三項式恒為0，

所以二次項，一次項和常數(shù)項的系數(shù)均為0，即，

所以，，

即定點坐標(biāo)為．