Question

已知函數(shù) （為實(shí)常數(shù)） ．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)．

（3）若，且對任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根.

（3）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，利用的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出其最大值.

（2）由題意，方程根的個(gè)數(shù)等于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)，

設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；可通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值利用數(shù)形結(jié)合法解決；

（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，故原命題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù).

試題解析：【解析】
（1），當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào).

（2）易知，故，方程根的個(gè)數(shù)等于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù).

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增.

又，作出與直線的圖象，由圖象知：

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；

當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根.

（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，故原命題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，所以恒成立，即在時(shí)恒成立.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606040071058755/SYS201502260604080232899157_DA/SYS201502260604080232899157_DA.044.png">在時(shí)是減函數(shù)，所以.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根；3、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與數(shù)形結(jié)合的思想.